Một phương trình mũ và lô ga rít rất hay dành cho lớp 12 đặt ẩn phụ và đơn điệu

Giải phương trình: $x^{{\log }_53}+4^{{\log }_5x}=x\left(1\right)$

Bài giải:

Điều kiện: $x>0.$

Đặt $t=\log _5x\Rightarrow x=5^t$

Ta có phương trình trở thành: $\left({5^t}\right)^{{\log }_53}+4^t=5^t$ $\Leftrightarrow \left({5^{{\log }_53}}\right)^t+4^t=5^t$

$\Leftrightarrow 3^t+4^t=5^t$ $\Leftrightarrow \dfrac{3^t}{5^t}+\dfrac{4^t}{5^t}=1$ $\Leftrightarrow \left({\dfrac35}\right)^t+\left({\dfrac45}\right)^t=1$ (2)

Xét hàm số $f\left(t\right)=\left({\dfrac35}\right)^t+\left({\dfrac45}\right)^t$ ta có: $f'\left(t\right)=\left({\dfrac35}\right)^t\ln \dfrac35+\left({\dfrac45}\right)^t\ln \dfrac45<0,\forall t\in \mathbb{R}$

Nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Ta lại có: $t=2$ là nghiệm của phương trình (2). Vậy (2) có nghiệm duy nhất $t=2$

Với $t=2,$ ta có: $x=5^2=25.$ (thỏa điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm $x=25.$