Phương trình lô ga rít LỚP 12

Câu 1. Giải phương trình: $x+2.3^{{\log }_2x}=3\left(1\right)$

Bài giải.

Điều kiện: $x>0$

Đặt $t=\log _2x\Rightarrow x=2^t$

Ta có phương trình (1) trở thành: $2^t+2.3^t=3\left(*\right)$

Xét hàm số $f\left(t\right)=2^t+2.3^t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $2^0+2.3^0=3$ nên $t=0$ là nghiệm duy nhất của $\left(*\right)$

Với $t=0,$ ta có: $x=2^0=1.$ (thỏa (1))

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất $x=1.$

Câu 2. Giải phương trình: $\log _2x+\sqrt{{2^x+2}}=2$

Bài giải.

Điều kiện: $x>0$

Xét hàm số $f\left(x\right)=\log _2x+\sqrt{{2^x+2}}$

Ta có: $f'\left(x\right)=\dfrac1{x\ln 2}+\dfrac{2^x\ln 2}{2\sqrt{{2^x+2}}}>0,\forall x>0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left({0;+\infty }\right)$

Ta lại có: $\log _21+\sqrt{{2^1+2}}=2$ nên$x=1$ là nghiệm của phương trình (2)

Vậy phương trình $\left(2\right)$ có nghiệm duy nhất $x=1.$

Câu 3. Giải phương trình: $\log _2\left({x+3^{{\log }_6x}}\right)=\log _6x$

Bài giải.

Điều kiện: $x>0$

Đặt $t=\log _6x\Rightarrow x=6^t$

$\log _2\left({6^t+3^t}\right)=t\Leftrightarrow 6^t+3^t=2^t$ $\Leftrightarrow 3^t+\left({\dfrac32}\right)^t=1\left(*\right)$

Hàm số $f\left(t\right)=3^t+\left({\dfrac32}\right)^t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $t=-1$ là nghiệm của (*) nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất $t=-1$

Với $t=-1,$ta có: $x=6^{-1}=\dfrac16$  (thỏa $x>0$ )

Vậy phương trình $\left(3\right)$ có nghiệm duy nhất $x=\dfrac16.$