[DAYHOCTOAN.VN]-BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA TÍCH PHÂN TRÍCH TỪ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Câu 1:(CHUYÊN VINH – L2) Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}$, $y=0$ và $x=4$ quanh trục $Ox$. Đường thẳng $x=a\left({0<a<4}\right)$ cắt đồ thị hàm $y=\sqrt{x}$ tại $M$ (hình vẽ bên). Gọi $V_1$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác $OMH$ quanh trục $Ox$. Biết rằng $V=2V_1$. Khi đó

A. $a=2$.                       

B. $a=2\sqrt{2}$.           

C. $a=\dfrac52$.           

D. $a=3$.                       

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có $\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0$. Khi đó $V=\pi \displaystyle\int\limits_0^4 {x}\text{d}x=8\pi $

Ta có $M\left({a;\sqrt{a}}\right)$

Khi quay tam giác $OMH$ quanh trục $Ox$ tạo thành hai hình nón có chung đáy:

• Hình nón $\left({N_1}\right)$ có đỉnh là $O$, chiều cao $h_1=OK=a$, bán kính đáy $R=MK=\sqrt{a}$;

• Hình nón $\left({N_2}\right)$ thứ 2 có đỉnh là $H$, chiều cao $h_2=HK=4-a$, bán kính đáy $R=MK=\sqrt{a}$

Khi đó $V_1=\dfrac13\pi R^2h_1+\dfrac13\pi R^2h_2=\dfrac43\pi a$

Theo đề bài $V=2V_1\Leftrightarrow 8\pi =2.\dfrac43\pi a\Rightarrow a=3$.

Câu 5: Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40cm, chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu ( đơn vị lít) là bao nhiêu ?

A. $425,2$ lit.                

B. $425162$lit.              

C. $212581$lit.              

D. $212,6$lit.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ÿ Gọi $\left(P\right):y=ax^2+bx+c$ là parabol đi qua điểm $A\left({0,5;0,3}\right)$ và có đỉnh $S\left({0;0,4}\right)$ (hình vẽ). Khi đó, thể tích thùng rượu bằng thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi $\left(P\right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=\pm 0,5$ quay quanh trục$Ox$.

Ÿ Dễ dàng tìm được $\left(P\right):y=-\dfrac25x^2+0,4$

Ÿ Thể tích thùng rượu là:

$V=\pi \displaystyle\int\limits_{-0,5}^{0,5} {{{\left({-\dfrac25x^2+0,4}\right)}^2dx=2\pi }}\displaystyle\int\limits_0^{0,5} {{{\left({-\dfrac25x^2+0,4}\right)}^2dx}}=\dfrac{203\pi }{1500}\approx 425,5\text{ (l)}$