Một số bài ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán về chủ đề đồng biến và nghịch biến của hàm số lớp 12 (có lời giải chi tiết) ôn thi THPT Quốc gia 2018 Nguyễn Đắc Tuấn

Bài 1. Cho hai số thực x; y thỏa mãn: \(x^2y(2+2\sqrt{4y^2+1})=x+\sqrt{x^2+1},(x>0).\) Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. x = 2y

B. 2x = y

C. \(x=\frac{1}{y}\)

D. \(2y=\frac{1}{x}\)

Bài giải.

Ta có: \(x^2y(2+2\sqrt{4y^2+1})=x+\sqrt{x^2+1},(x>0)\)

\(\iff 2y+2y\sqrt{4y^2+1}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\sqrt{\frac{1}{x^2}+1} \ \ (*)\)

Xét hàm số \(f(t)=t+t\sqrt{t^2+1}, t>0\)

Ta có: \(f'(t)=1+\sqrt{t^2+1}+t.\frac{2t}{2\sqrt{t^2+1}}>0,\forall t>0\)

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\)

\((*)\iff f(2y)=f(\frac{1}{x})\iff 2y=\frac{1}{x}.\)

Vậy chọn đáp án D.

Câu 2. Chọn câu trả lời đúng nhất về hàm số \(y=\frac{x^2-1}{x}.\)

A. Đồng biến trên \((-\infty;0)\)

B. Đồng biến trên \((0;+\infty)\)

C. Đồng biến trên \((-\infty;0)\cup ​​(0;+\infty).\)

D. Đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((0;+\infty)\)

Bài giải. Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \setminus \{0\}.\)

Ta có: \(y=1-\frac{1}{x}\)

nên \(y'=\frac{1}{x^2}>0,\forall x\neq 0\)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((0;+\infty)\)

Bài tập luyện tập:

Câu 3. Tìm m để bất phương trình \(m(\sqrt{x^2-2x+2}+1)+x(2-x)\leq0\) có nghiệm \(x\in[0;1+\sqrt{3}]\)

A. m < 1

B. \(m\leq \frac{2}{3}\)

C. \(m\leq \frac{3}{4}\)

D. \(m\leq \frac{5}{6}\)

Câu 4. Hàm số \(y=-x^4+4x^2+1\) nghịch biến trên mỗi khoảng nào sau đây?

A. \((-\sqrt{3};0)\) và \((\sqrt{2};+\infty)\)

B. \((-\sqrt{2};\sqrt{2})\)

C. \((\sqrt{2};+\infty)\)

D. \((-\sqrt{2};0)\) và \((\sqrt{2};+\infty)\)

Câu 5. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng (1;3)?

A. \(y=\frac{1}{2}x^2-2x+3\)

B. \(y=\frac{2}{3}x^3-4x^2+6x+9\)

C. \(y=\frac{2x-5}{x-1}\)

D. \(y=\frac{x^2+x-1}{x-1}\)

Câu 6. Hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3+(m+1)x^2-(m+1)x+1\) đồng biến trên tập xác định của nó khi:

A. m > 4

B. \(-2\leq m\leq -1\)

C.  m < 2

D. m < 4

Câu 7. Cho hàm số \(y=mx^3-2(2m-1)x^2-(m-2)x-2.\) Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

A. m < 1

B. m>3

C. không có m

D. Đáp án khác

Câu 8. Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}mx^3+mx^2-x.\) Tìm m để hàm số đã cho luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)

A. m < -2

B. m > 0 

C. m > 1

D. Đáp án khác

Câu 9. Xác định m để hàm số \(y=\frac{1-m}{3}x^3-2(2-m)x^2+2(2-m)x+5\) luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)

A. \(2\leq m \leq 3.\)

B. \(2< m <5.\)

C. m > -2.

D. m = 1.

Câu 10. Hàm số \(y=\frac{x+m}{mx+1}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó khi:

A. \(-1< m <1\)

B. \(-1\leq m \leq 1.\)

C.  Không có m.

D. Đáp án khác.

                                                                                 ---Hết---