Đề thi thử THPT quốc gia

Cách viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị của hàm số bậc ba và ứng dụng của nó Nguyễn Đắc Tuấn

dayhoctoan .vn ,Đăng ngày: 2017-07-30

Đăng ký kênh youtube của dayhoctoan nhé

Cách viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị của hàm số bậc ba và ứng dụng của nó do thầy Nguyễn Đắc Tuấn biên soạn. Bài viết cung cấp phương pháp viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba và một số ví dụ áp dụng của nó.

Xét hàm số bậc ba dạng \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a\neq0)\)

\(y'=3ax^2+2bx+c\)

1. Điều kiện để hàm số bậc ba có hai cực trị:

Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt

\(\iff\Delta'>0\iff b^2-3ac>0\ \ (*)\)

2. Cách viết phương trình đường thẳng qua hai cực trị của đồ thị hàm số bậc ba:

Cách 1. Nếu trường hợp ta tìm được tọa độ của hai điểm cực trị A, B dễ dàng (ví dụ trong trường hợp c = 0 hoặc \(\Delta(\Delta')\) có dạng bình phương...) thì ta có thể viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số. AB qua A và nhận \(\overrightarrow{AB}\) làm vec tơ chỉ phương.

Cách 2. Nếu trường hợp việc tìm tọa độ hai điểm cực trị gặp nhiều khó khăn trong tính toán (ví dụ \(\Delta \) hoặc \(\Delta'\) không có dạng chính phương, nghiệm của phương trình y'=0 có chứa căn...). Khi đó ta có thể dùng cách sau:

Lấy y chia cho y' và viết lại: \(y=y'.(Mx+N)+Px+Q\)

Gọi \(A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)\) là tọa độ hai điểm cực trị. Ta có: \(y'(x_1)=y'(x_2)=0.\)

Do đó: \(y_1=y'(x_1)(Mx_1+N)+Px_1+Q; \ y_2=y'(x_2)(Mx_2+N)+Px_2+Q\)

Suy ra: \(y_1=Px_1+Q;\ \ y_2=Px_2+Q\)

Nên A, B thuộc đường thẳng \(\Delta:y=Px+Q.\)

Vậy đường thẳng qua hai cực trị là: \(\Delta:y=Px+Q.\)

Ví dụ 1. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng \(d: y=(2m-1)x+3+m\) vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=x^3-3x^2+1.\)

A. \(m=\frac{3}{2}.\)

B. \(m=\frac{3}{4}.\)

C. \(m=\frac{-1}{2}.\)

D. \(m=\frac{1}{4}.\)

Bài giải.

Ta có: \(y'=3x^2-6x=3x(x-2)\)

\(y'=0 \iff x=0\) hoặc x = 2.

Nên hàm số có 2 cực trị. Tọa độ hai cực trị: \(A(0;1),B(2;-3)\)

AB qua A và có VTCP \(\overrightarrow{AB}=(2;-4)\) nên có VTPT \(\overrightarrow{n}=(2;1)\)

d có VTPT \(\overrightarrow{n_d}=(2m-1;-1)\)

d vuông góc với AB nên \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n_d}=0\iff 4m-2-1=0\iff m=\frac{3}{4}\)

cách khác:

Lấy y chia cho y', ta có: \(y=y'(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3})-2x+1\)

Đường thẳng qua hai cực trị: y = - 2x +1.

\(\Delta \perp d \iff k_\Delta.k_d=-1\iff -2(2m-1)=-1\iff m=\frac{3}{4}\)

Chọn đáp án B.

Bài 2. Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+mx+1.\)

a) Tìm hàm số để có hai cực trị

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Bài 3. (A – 2002) Cho hàm số \(y=-x^3+3mx^2+3(1-m^2)x+m^3-m^2\ \ (1)\) (m là tham số). Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

ĐS: \(y=2x-m^2+m.\)

Bài 4. Cho hàm số \(y=x^3+mx^2-x.\)

a) Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m.

b) Xác định m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng (d); y= -2x.

ĐS: \(m=\pm \sqrt{6}.\)

Bài 5. Cho hàm số \(y=-x^3+mx^2-4.\) m là tham số. Tìm m để các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) và điểm M(1; 10) thẳng hàng.

ĐS:\(m=\pm3\sqrt{7}\)

Bài 6. Tìm m để hàm số \(f(x)=2x^3+3(m-1)x^2+6m(1-2m)x\) có cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng (d):y = -4x ĐS: m = 1.

Bài 17. Cho hàm số \(y=x^3-3x^2+mx\) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d:x-2y-5=0. ĐS: m = 0.

Bài 18. Tìm m để \(y=x^3+mx^2+7x+3\) có cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường thẳng \(y=3x-7.\)

Bài 19. Tìm m để hàm số \(y=x^3-3x^2+m^2x+m\) có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng \((\Delta):y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}.\)

Tải đề về cực trị của hàm số để luyện tập: TẢI VỀ NGAY

Xem thêm các bài viết khác: