Câu 1. (3,0 điểm)
a) Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^{\log _3 7}=27, b^{\log _7 11}=49, c^{\log _{11} 25}=\sqrt{11}$. Tính giá trị của biểu thức $T=a^{\log _5^2 7}+b^{\log _7^2 11}+c^{\log _{11}^2 25}$.
b) Xét hàm số $f(t)=\frac{9^t}{9^t+m^2}$ với $m$ là tham số thực. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ sao cho $f(x)+f(y)=1$ với mọi $x, y$ thỏa mãn $e^{x+y} \leq e(x+y)$. Tìm số phần tử của $S$

Câu 2. (6,0 điểm)
a) Tìm những điểm trên đồ thị $(C)$ của hàm số $y=x+1+\frac{1}{x-1}$ có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường thẳng $d_1: x=1$ và $d_2: y=x+1$ một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
b) Cho hàm số $y=x^3-6 m x+4$ có đồ thị $\left(C_m\right)$. Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để đường thẳng đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của $\left(C_m\right)$ cắt đường tròn tâm $I(1 ; 0)$, bán kính $\sqrt{2}$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho tam giác $I A B$ có diện tích lớn nhất.
c) Cho hàm số $y=\frac{2 x+3}{x+2}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $\left(d_m\right): y=x+m+1$. Tìm $m$ để
$(C)$ cắt $\left(d_m\right)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho $\triangle O A B$ vuông tại $O$.
Câu 3. ( 3,0 điểm) Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất để lấy được số có dạng $\overline{a b c d e f g}$, trong đó $a<b<c<d$ và $d>e>f>g$.
Câu 4. (6,0 điểm) Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông, cạnh bằng $a, S A=a$. Mặt phẳng $(S A B)$ và $(S A D)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $S D$.
a) Tính thể tích của khối chốp $S . A B C D$.
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng $(S C D)$ và $(A B C D)$.
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A H$ và $S C$.

Câu 5. (2,0 điểm) Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn $\left(x^2+y^2+1\right)^2+3 x^2 y^2+1=4 x^2+5 y^2$.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^2+2 y^2-3 x^2 y^2}{x^2+y^2+1}$.
---HẾT---

Xem thêm đề thi tại: HSG Toán 11 wordtoan.com