Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi Toán 11 Quế Võ 1 Hà Nội năm 2022 2023

Câu I.(2,0 điểm)
1. Cho hàm số $y=x^2-4 x+3$ có đồ thị $(P)$. Tìm giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $\left(d_m\right): y=x+m$ cắt đồ thị $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2$ thỏa mãn $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$
2. Cho hàm số $y=(m-1) x^2-2 m x+m+2$ ( $m$ là tham số). Tìm $m$ đề hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ; 2)$
Câu II.(2,0 điểm) Giải phương trình: $8 x^2-8 x+3=8 x \sqrt{2 x^2-3 x+1}$
Câu III. $(5,0$ điểm)
1. Giải phương trình: $\cos ^2 2 x+\cos 2 x-\frac{3}{4}=0$
2. Giải phương trình: $\sqrt{3} \sin 3 x-\left(4 \sin ^2 x+1\right) \cos x=0$
3. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho có đúng một nghiệm của phương trình $m\left(\sin 2 x+\cos ^2 x\right)=m^2+\sin 2 x \cdot \cos ^2 x$ thuộc $\left(\frac{\pi}{2} ; \pi\right)$.

Câu IV.(4,0 điểm)
1. Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_{2 n+1}^1+C_{2 n+1}^2+\ldots+C_{2 n+1}^n=2^{20}-1$. Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{15}$ trong khai triển thành đa thức của biểu thức $\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)^3 \cdot(2 x-1)^{2 n}$
2. Gọi $X$ là tập hợ̂̀ tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số $0,1,2,3,4,5,6$, $7,8,9$. Chọn ngẫu nhiên từ $X$ ra một số. Tính xác suất để chọn được số không có hai chữ số chẵn đứng liền kề.
Câu IV.(2,0 điểm)
Trong mặt phẳng $O x y$ cho đường tròn $\left(C_1\right): x^2+y^2=13$, đường tròn $\left(C_2\right):(x-6)^2+y^2=25$
1. Tìm giao điềm của hai đường tròn $\left(C_1\right)$ và $\left(C_2\right)$.
2. Gọi giao điểm có tung độ dương của $\left(C_1\right)$ và $\left(C_2\right)$ là $A$, viết phương trình đường thẳng đi qua $A$ cắt $\left(C_1\right)$ và $\left(C_2\right)$ theo hai dây cung có độ dài bằng nhau
Câu V.(4,0 điểm)
Cho hình thoi $A B C D$ tâm $O$ có $B=60^{\circ}$. Điểm $\mathrm{S}$ nằm ngoài mặt phẳng $(A B C D)$ thỏa mãn $S A B=S A C$. Cho $M, N$ lần lượt là trung điềm của $S A$ và $C D$.
1. Chứng minh rằng: $M N / /(S B C)$.
2. Dựng thiết diện của hình chóp $S . A B C D$ bị cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M N$ và song song với $S C$. Thiết diện là hình gì?
3. Tính tỉ số diện tích của thiết diện và tam giác $S B C$.
Câu VI.(1,0 điểm)
Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $x y+y z+x z=3$.
Chứng minh bât đẳng thức: $\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}} \geq 1$.