Phương pháp giải toán hàm số lượng giác và phương trình lượng giác thầy Lê Quang Xe

Phần I ĐẠI SỐ.
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2.
Bài 0. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 2.
A Tóm tắt lý thuyết 2.
Bài 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 5.
A Tóm tắt lý thuyết 5.
B Các dạng toán thường gặp 8.
+ Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác 8.
+ Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác 12.
+ Dạng 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác 18.
C Bài tập trắc nghiệm 21.
Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 30.
A Phương trình lượng giác cơ bản 30.
B Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác 32.
+ Dạng 1. Sử dụng thành thạo cung liên kết 32.
+ Dạng 2. Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tích thành tổng 41.
+ Dạng 3. Hạ bậc khi gặp bậc chẵn của sin và cos 46.
+ Dạng 4. Xác định nhân tử chung để đưa về phương trình tích 50.
C Bài tập trắc nghiệm 77.
Bài 3. MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 87.
A Một số dạng toán thường gặp 87.
+ Dạng 1. Giải một số phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 87.
+ Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos 105.
+ Dạng 3. Giải phương trình đẳng cấp 122.
+ Dạng 4. Giải phương trình đẳng cấp 132.
+ Dạng 5. Một số phương trình lượng giác khác 139.
+ Dạng 6. Một số phương trình lượng giác đặc biệt 146.
B Bài tập trắc nghiệm 157.
Bài 4. BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I 168.
A Bài tập tự luận 168.
B Bài tập trắc nghiệm 180.

Trích một số nội dung tài liệu: 

Bài 1: Hàm số lượng giác

Tính chất $1.1$.
a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Hàm số $y=f(x)$ có tập xác định là $\mathscr{D}$ gọi là hàm số chẵn nếu với mọi $x \in \mathscr{D}$ thì $-x \in \mathscr{D}$ và $f(-x)=f(x)$. Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
() Hàm số $y=f(x)$ có tập xác định là $\mathscr{D}$ gọi là hàm số lẻ nếu với mọi $x \in \mathscr{D}$ thì $-x \in \mathscr{D}$ và $f(-x)=-f(x)$. Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng.
b) Hàm số đơn điệu
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập $(a ; b) \subset \mathbb{R}$.
(-) Hàm số $y=f(x)$ gọi là đồng biến trên $(a ; b)$ nếu $\forall x_1, x_2 \in(a ; b)$ có $x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right)<$ $f\left(x_2\right)$.
() Hàm số $y=f(x)$ gọi là nghịch biến trên $(a ; b)$ nếu $\forall x_1, x_2 \in(a ; b)$ có $x_1<x_2 \Rightarrow$ $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.
c) Hàm số tuần hoàn
(-) Hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập hợp $\mathscr{D}$, được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số $T \neq 0$ sao cho với mọi $x \in \mathscr{D}$ ta có $(x+T) \in \mathscr{D}$ và $(x-T) \in \mathscr{D}$ và $f(x+T)=f(x)$.
O Nếu có số dương $T$ nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì $T$ gọi là chu kì của hàm tuần hoàn $f$.

Định nghĩa 1.2. Hàm số $y=\cos x$
(-) Hàm số $y=\cos x$ có tập xác định $\mathscr{D}=\mathbb{R} \Rightarrow y=\cos [f(x)]$ xác định $\Leftrightarrow f(x)$ xác định.
Tập giá trị $T=[-1 ; 1]$, nghĩa là $-1 \leq \cos x \leq 1 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}0 \leq|\cos x| \leq 1 \\ 0 \leq \cos ^2 x \leq 1\end{array}\right.$
Hàm số $y=\cos x$ là hàm số chẵn vì $f(-x)=\cos (-x)=\cos x=f(x)$ nên đồ thị của hàm số nhận trục tung $O y$ làm trục đối xứng.
(-) Hàm số $y=\cos x$ tuần hoàn với chu kì $T_0=2 \pi$, nghĩa là $\cos (x+2 \pi)=\cos x$. Hàm số $y=\cos (a x+b)$ tuần hoàn với chu kì $T_0=\frac{2 \pi}{|a|}$.
( ) Hàm số $y=\cos x$ đồng biến trên các khoảng $(-\pi+k 2 \pi ; k 2 \pi), k \in \mathbb{Z}$ và nghịch biến trên các khoảng $(k 2 \pi ; \pi+k 2 \pi), k \in \mathbb{Z}$.
Đồ thị hàm số

Định nghĩa 1.3. Hàm số $y=\tan x$
() Hàm số $y=\tan x$ có tập xác định $\mathscr{D}=\mathbb{R} \backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\right\}$, nghĩa là $x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi \Rightarrow$ hàm số $y=\tan [f(x)]$ xác định $\Leftrightarrow f(x) \neq \frac{\pi}{2}+k \pi ;(k \in \mathbb{Z})$.
Tập giá trị $T=\mathbb{R}$.
(-) Hàm số $y=\tan x$ là hàm số lẻ vì $f(-x)=\tan (-x)=-\tan x=-f(x)$ nên đồ thị của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ $O$.
() Hàm số $y=\tan x$ tuần hoàn với chu kì $T_0=\pi \Rightarrow y=\tan (a x+b)$ tuần hoàn với chu kì $T_0=\frac{\pi}{|a|}$
() Hàm số $y=\tan x$ đồng biến trên các khoảng $\left(-\frac{\pi}{2}+k \pi ; \frac{\pi}{2}+k \pi\right), k \in \mathbb{Z}$.

Hàm số $y=\tan x$ nhận các giá trị đặc biệt $\mid \begin{array}{ll}\circ & \tan x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k \pi \\ \circ & \tan x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k \pi \\ \circ & \tan x=0 \Leftrightarrow x=k \pi\end{array}$.
Đồ thị hàm số

Định nghĩa 1.4. Hàm số $y=\cot x$
(-) Hàm số $y=y=\cot x$ có tập xác định $\mathscr{D}=\mathbb{R} \backslash\{k \pi, k \in \mathbb{Z}\}$, nghĩa là $x \neq k \pi \Rightarrow$ hàm số $y=\cot [f(x)]$ xác định $\Leftrightarrow f(x) \neq k \pi ;(k \in \mathbb{Z})$.
Tập giá trị $T=\mathbb{R}$.
(-) Hàm số $y=\cot x$ là hàm số lẻ vì $f(-x)=\cot (-x)=-\cot x=-f(x)$ nên đồ thị của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ $O$.
() Hàm số $y=y=\cot x$ tuần hoàn với chu kì $T_0=\pi \Rightarrow y=\cot (a x+b)$ tuần hoàn với chu kì $T_0=\frac{\pi}{|a|}$.
() Hàm số $y=y=\cot x$ nghịch biến trên các khoảng $(k \pi ; \pi+k \pi), k \in \mathbb{Z}$.
() Hàm số $y=y=\cot x$ nhận các giá trị đặc biệt $\mid \begin{array}{ll}\circ & \cot x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k \pi \\ \circ & \cot x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k \pi, k \in \mathbb{Z} \\ \circ & \cot x=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2} k \pi\end{array}$.
() Đồ thị hàm số

Dạng (1) Tìm tộp xác định của hàm số lượng giác
Phương pháp giải: Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác ta cần nhớ:
a) $y=\tan f(x)=\frac{\sin f(x)}{\cos f(x)}$; Điều kiện xác định: $\cos f(x) \neq 0 \Leftrightarrow f(x) \neq \frac{\pi}{2}+k \pi,(k \in \mathbb{Z})$.
b) $y=\cot f(x)=\frac{\cos f(x)}{\sin f(x)}$; Điều kiện xác định: $\sin f(x) \neq 0 \Leftrightarrow f(x) \neq k \pi,(k \in \mathbb{Z})$.
c) Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp:
() $y=\frac{1}{P(x)}$, điều kiện xác định là $P(x) \neq \quad P(x \geq 0)$.
( $y=\sqrt[2 n]{P(x)}$, điều kiện xác định là $\quad P(x)>0$.
d) Lưu ý rằng: $-1 \leq \sin f(x) ; \cos f(x) \leq 1$ và $A \cdot B \neq 0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A \neq 0 \\ B \neq 0\end{array}\right.$
e) Với $k \in \mathbb{Z}$, ta cần nhớ những trường hợp đặc biệt:
() $\left[\begin{array}{l}\sin x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \\ \sin x=0 \Leftrightarrow x=k \pi \\ \sin x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+k 2 \pi\end{array} \odot\left[\begin{array}{l}\tan x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k \pi \\ \tan x=0 \Leftrightarrow x=k \pi \\ \tan x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k \pi\end{array}\right.\right.$
$\left(\left[\begin{array}{l}\cos x=1 \Leftrightarrow x=k 2 \pi \\ \cos x=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k \pi \\ \cos x=-1 \Leftrightarrow x=\pi+k 2 \pi\end{array} \quad \odot\left[\begin{array}{l}\cot x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k \pi \\ \cot x=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k \pi \\ \cot x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k \pi\end{array}\right]\right.\right.$

Dạng (2) Tîm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Phương pháp giải:
(-) Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn $--1 \leq \sin x \leq 1 \Rightarrow\left[\begin{array}{l}0 \leq|\sin x| \leq 1 \\ 0 \leq \sin ^2 x \leq 1\end{array}\right.$ hoặc $-1 \leq \cos x \leq 1 \Rightarrow\left[\begin{array}{l}0 \leq|\cos x| \leq 1 \\ 0 \leq \cos ^2 x \leq 1\end{array}\right.$ - Biến đổi đưa về dạng $m \leq y \leq M$.
Kết luận: $\max y=M$ và $\min y=m$.

Dạng (3) Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Phương pháp giải
() Bước 1 . Tìm tập xác định $D$ của hàm số lượng giác.
Nếu $\forall x \in D$ thì $-x \in D \Rightarrow D$ là tập đối xứng và chuyển sang bước 2 .
Bước 2. Tính $f(-x)$, nghĩa là sẽ thay $x$ bằng $-x$, sẽ có 2 kết quả thường gặp sau
- Nếu $f(-x)=f(x) \Rightarrow f(x)$ là hàm số chẵn.
- Nếu $f(-x)=-f(x) \Rightarrow f(x)$ là hàm số lẻ.

A ( ) Nếu không là tập đối xúng $(\forall x \in D \Rightarrow-x \notin D)$ hoăc $f(-x)$ không bằng $f(x)$ hoăc $-f(x)$ ta sê kết luận hàm số không chăn, không lẻ.
(-) Ta thường sủ dụng cung góc liên kết dạng cung đối trong dạng toán này, cu thể $\cos (-a)=\cos a, \sin (-a)=-\sin a, \tan (-a)=-\tan a, \cot (-a)=-\cot a$.

§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Tóm tắt công thức nghiệm cơ bản
Vó́i $k \in \mathbb{Z}$, ta có các phương trình lượng giác cở bản sau
() $\cos a=\cos b \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=b+k 2 \pi \\ a=-b+k 2 \pi\end{array}\right.$.
Nếu đề bài cho dạng độ $\left(\alpha^{\circ}\right)$ thì ta sẽ chuyển $k 2 \pi \rightarrow k 360^{\circ}, k \pi \rightarrow k 180^{\circ}$, với $\pi=180^{\circ}$.
Những trường hợp đặc biệt
$\sin x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi$.
(-) $\cos x=1 \Leftrightarrow x=k 2 \pi$.
$\sin x=0 \Leftrightarrow x=k \pi$.
( $\cos x=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k \pi$.
$\sin x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+k 2 \pi$
$\cos x=-1 \Leftrightarrow x=\pi+k 2 \pi$.
() $\tan x=0 \Leftrightarrow x=k \pi$.
$\odot \cot x=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k \pi$.
() $\tan x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k \pi$.
$\odot \cot x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k \pi$.
$\odot \tan x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k \pi$.
$\odot \cot x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k \pi$.