Bài tập nguyên hàm lớp 12 

Câu 1. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=x e^{2 x}$ là
A. $F(x)=2 e^{2 x}\left(x-\frac{1}{2}\right)+C$.
B. $F(x)=2 e^{2 x}(x-2)+C$.
C. $F(x)=\frac{1}{2} e^{2 x}(x-2)+C$.
D. $F(x)=\frac{1}{2} e^{2 x}\left(x-\frac{1}{2}\right)+C$.
Câu 2. $\int_{1}^{2} \frac{d x}{2 x+3}$ bằng
A. $\frac{1}{2} \ln \frac{7}{5}$.
B. $\ln \frac{7}{5}$.
C. $2 \ln \frac{7}{5}$.
D. $\frac{1}{2} \ln 35$.
Câu 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. $\int \frac{1}{x+1} \mathrm{~d} x=\ln |x+1|+C(\forall x \neq-1)$.
B. $\int \cos 2 x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \sin 2 x+C$.
C. $\int \mathrm{e}^{2 x} \mathrm{~d} x=\frac{\mathrm{e}^{2 x}}{2}+C$.
D. $\int 2^{x} \mathrm{~d} x=2^{x} \ln 2+C$.
Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=x+\frac{1}{x}$
A. $\int f(x) d x=\ln x+\frac{1}{2} x^{2}+C$.
B. $\int f(x) d x=\ln |x|+x^{2}+C$.
C. $\int f(x) d x=\ln |x|+\frac{1}{2} x^{2}+C$.
D. $\int f(x) d x=\ln x+x^{2}+C$.

Câu 5. Nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{2 \sqrt{2 x+1}}$ có dạng:
A. $\int f(x) \mathrm{d} x=\sqrt{2 x+1}+C$.
B. $\int f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{(2 x+1) \sqrt{2 x+1}}+C$.
C. $\int f(x) \mathrm{d} x=2 \sqrt{2 x+1}+C$.
D. $\int f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \sqrt{2 x+1}+C$.
Câu 6. Cho biết $\int \frac{2 x-13}{(x+1)(x-2)} \mathrm{dx}=a \ln |x+1|+b \ln |x-2|+C$.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $a-b=8$.
B. $2 a-b=8$.
C. $a+2 b=8$.
D. $a+b=8$.
Câu 7. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=3 x-\sin x$.
A. $\int f(x) \mathrm{d} x=\frac{3 x^{2}}{2}+\cos x+C$.
B. $\int f(x) \mathrm{d} x=3+\cos x+C$.
C. $\int f(x) \mathrm{d} x=\frac{3 x^{2}}{2}-\cos x+C$.
D. $\int f(x) \mathrm{d} x=3 x^{2}+\cos x+C$.
Câu 8. Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm $f(x)=\frac{1}{2 x+1}$; biết $F(0)=2$. Tính $F(1)$.

A. $F(1)=\frac{1}{2} \ln 3+2$. B. $F(1)=\ln 3+2$.
C. $F(1)=2 \ln 3-2$.
D. $F(1)=\frac{1}{2} \ln 3-2$.
Câu 9. Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f^{\prime}(x)=x e^{x}$ và $f(0)=2$. Tính $f(1)$.
A. $f(1)=8-2 e$.
B. $f(1)=e$.
C. $f(1)=3$.
D. $f(1)=5-e$.
Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{1-2 x}$ trên $\left(-\infty ; \frac{1}{2}\right)$.
A. $\frac{1}{2} \ln |2 x-1|+C$.
B. $\frac{1}{2} \ln (1-2 x)+C$.
C. $\ln |2 x-1|+C$.
D. $-\frac{1}{2} \ln |2 x-1|+C$.

Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=x-\sin 2 x$ là
A. $\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{2} \cos 2 x+C$.
B. $x^{2}+\frac{1}{2} \cos 2 x+C$.
C. $\frac{x^{2}}{2}+\cos 2 x+C$.
D. $\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2} \cos 2 x+C$.
Câu 12. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của của hàm số $y=\cos x$ ?
A. $y=\sin x$.
B. $y=\tan x$.
C. $y=\cot x$.
D. $y=-\sin x$.
Câu 13. Mệnh đề nào sau đây $s a i$ ?
A. $\int\left[f_{1}(x)+f_{2}(x)\right] \mathrm{d} x=\int f_{1}(x) \mathrm{d} x+\int f_{2}(x) \mathrm{d} x$.
B. $\int k f(x) \mathrm{d} x=k \int f(x) \mathrm{d} x$ ( $k$ là hằng số và $k \neq 0$ ).
C. Nếu $\int f(x) \mathrm{d} x=F(x)+C$ thì $\int f(u) \mathrm{d} u=F(u)+C$.
D. Nếu $F(x)$ và $G(x)$ đều là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thì $F(x)=G(x)$.
Câu 14. Tính $\int_{0}^{1} e^{3 x+1} \mathrm{~d} x$ bằng
A. . $e^{4}-e$.
B. $e^{3}-e$.
C. $\frac{1}{3}\left(e^{4}-e\right)$.
D. $\frac{1}{3}\left(e^{4}+e\right)$.
Câu 15. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=(3 x+1)^{5}$ ?
A. $F(x)=\frac{(3 x+1)^{6}}{18}+8$.
B. $F(x)=\frac{(3 x+1)^{6}}{18}$.
C. $F(x)=\frac{(3 x+1)^{6}}{6}$.
D.
$F(x)=\frac{(3 x+1)^{6}}{18}-2 .$

Bài tập sách bài tập GT12 cơ bản: 

3.1. Kiểm tra xem hàm số nào là một nguyen hàm của hàm số còn lại trong möi cặp hàm só sau :
a) $f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ và $g(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} ;$
b) $f(x)=e^{\sin x} \cos x \quad$ va $g(x)=e^{\sin x}$;
c) $f(x)=\sin ^{2} \frac{1}{x}$
và $g(x)=-\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{2}{x} ;$
d) $f(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2 x+2}}$ và $g(x)=\sqrt{x^{2}-2 x+2}$
e) $f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$
va $g(x)=(2 x-1) \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$
3.2. Chứng minh rằng các hàm số $F(x)$ và $G(x)$ sau đểu là một ngụyên hàm củá cùng một hàm số :
a) $F(x)=\frac{x^{2}+6 x+1}{2 x-3}$ và $G(x)=\frac{x^{2}+10}{2 x-3}$;

b) $F(x)=\frac{1}{\sin ^{2} x} \quad$ và $\quad G(x)=10+\cot ^{2} x$
c) $F(x)=5+2 \sin ^{2} x \quad$ và $\quad G(x)=1-\cos 2 x$.
3.3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
a) $f(x)=(x-9)^{4}$;
b) $f(x)=\frac{1}{(2-x)^{2}}$
c) $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$
d) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 x+1}} ;$
e) $f(x)=\frac{1-\cos 2 x}{\cos ^{2} x}$
f) $f(x)=\frac{2 x+1}{x^{2}+x+1}$
3.4. Tính các nguyên hàm sau'bàng phương pháp đôi biến số :
a) $\int x^{2} \sqrt[3]{1+x^{3}} \mathrm{~d} x$ vơi $x>-1$ (dặt $t=1+x^{3}$ );
b) $\int x e^{-x^{2}} \mathrm{~d} x\left(\right.$ dạt $\left.t=x^{2}\right)$;
c) $\int \frac{x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x\left(\right.$ đạt $\left.t=1+x^{2}\right) ;$
d) $\int \frac{1}{(1-x) \sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ (dặt $t=\sqrt{x}$ );
e) $\int \sin \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x\left(\operatorname{tar} t t=\frac{1}{x}\right)$;

g) $\int \frac{(\ln x)^{2}}{x} \mathrm{~d} x($ dạt $t=\ln x)$;
h) $\int \frac{\sin x}{\sqrt[3]{\cos ^{2} x}} d x$ (dạt $t=\cos x$ );
i) $\int \cos x \sin ^{3} x \mathrm{~d} x$ (dạt $t=\sin x$ ) ;
k) $\int \frac{1}{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ (dạt $t=\mathrm{e}^{x}$ );
1) $\int \frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{\sin x-\cos x}} d x$ (đạt $t=\sin x-\cos x$ ).
3.5. Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phán, hãy tính :
a) $\int(1-2 x) e^{x} d x$;
b) $\int x e^{-x} d x$;
c) $\int x \ln (1-x) \mathrm{d} x$;
d) $\int x \sin ^{2} x d x$;
e) $\int \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) d x$
g) $\int \sqrt{x} \ln ^{2} x d x$;
h) $\int x \ln \frac{1+x}{1-x} \mathrm{~d} x$.

3.6. Tính các nguyen hàm say :
a) $\int x(3-x)^{5} d x$
(1)) $\int\left(2^{x}-3^{x^{2}}\right) d x$;
c) $\int x \sqrt{2-5 x} d x$
d) $\int \frac{\ln (\sin x)}{\cos ^{2} x} d x$
e) $\int \frac{x}{\sin ^{2} x} d x$
g) $\int \frac{x+1}{(x-2)(x+3)} d x$;
h) $\int \frac{1}{1-\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$;
i) $\int \sin 3 x \cos 2 x d x$
k) $\int \frac{\sin ^{3} x}{\cos ^{2} x} d x$
1) $\int \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x}} \mathrm{~d} x,\left(a^{2} \neq b^{2}\right)$,
$H D: Đ a_{\varphi}^{\circ} u=\sqrt{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x}$

3.7. Bàng cách bién đởi các hàm sơ lựng giac, hây tính :
a) $\int \sin ^{4} x d x$;
b) $\int \frac{1}{\operatorname{ain}^{8} x} d x$;
c) $\int \sin ^{3} x \cos ^{4} x d x$;
d) $\int \sin ^{4} x \cos ^{4} x d x$;
e) $\int \frac{1}{\cos x \sin ^{2} x} d x$;
g) $\int \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$.
3.8. Trong các hàm só dưới đây, hàm số nào là mọt nguyên hàm của hàm só
$$
f(x)=\frac{1}{1+\sin x} ?
$$
a) $F(x)=1-\cot \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$
b) $G(x)=2 \tan \frac{x}{2}$
c) $H(x)=\ln (1+\sin x)$
d) $K(x)=2\left(1-\frac{1}{1+\tan \frac{x}{2}}\right)$.

BT sách giáo khoa 12 cơ bản: 

1. Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại ?
a) $e^{-x}$ và $-e^{-x}$;
b) $\sin 2 x$ và $\sin ^{2} x$;
c) $\left(1-\frac{2}{x}\right)^{2} e^{x}$ và $\left(1-\frac{4}{x}\right) e^{x}$.
2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
a) $f(x)=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}}$;
b) $f(x)=\frac{2^{x}-1}{e^{x}}$;

c) $f(x)=\frac{1}{\sin ^{2} x \cdot \cos ^{2} x}$
d) $f(x)=\sin 5 x \cdot \cos 3 x$;
e) $f(x)=\tan ^{2} x$
g) $f(x)=\mathrm{e}^{3-2 x}$
h) $f(x)=\frac{1}{(1+x)(1-2 x)}$.
3. Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính :
a) $\int(1-x)^{9} \mathrm{~d} x$ (đặt $u=1-x$ );
b) $\int x\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} x$ (đặt $u=1+x^{2}$ );
c) $\int \cos ^{3} x \sin x \mathrm{~d} x$ (đặt $t=\cos x$ ) ;
d) $\int \frac{\mathrm{d} x}{e^{x}+e^{-x}+2}\left(\right.$ đặt $\left.u=e^{x}+1\right)$.
4. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính :
a) $\int x \ln (1+x) \mathrm{d} x$;
b) $\int\left(x^{2}+2 x-1\right) e^{x} \mathrm{~d} x$;

c) $\int x \sin (2 x+1) \mathrm{d} x$;
d) $\int(1-x) \cos x \mathrm{~d} x$.

"Việc khó nhất của mỗi người là cố gắng làm việc chăm chỉ mỗi ngày"