Bài tập phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 dạng sin x = a, cos x = a, tan x = a, cot x = a.

Phuong trình $\operatorname{Sin} X=m(1)$
- Nếu $|m|>1:$ Phương trình vô nghiệm.
- Nếu $|m| \leq 1 \Rightarrow \exists \alpha \in\left[\frac{-\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$ thỏa mãn $\sin \alpha=m$
(1) $\Leftrightarrow \sin x=\sin \alpha \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\alpha+k 2 \pi \\ x=\pi-\alpha+k 2 \pi\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
\& Chú $y$ : Nếu $\alpha$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2} \\ \sin \alpha=m\end{array}\right.$ thì taa
viết $\alpha=\arcsin m$
Các truòng hợp đặc biệt:
(1) $\sin x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi(k \in \mathbb{Z})$.
(2) $\sin x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+k 2 \pi(k \in \mathbb{Z})$
(3) $\sin x=0 \Leftrightarrow x=k \pi(k \in \mathbb{Z})$

Bài tập luyện tập: 

Bài 1:

Giải các phưong trình sau:
a. $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
b. $\sin x=\frac{1}{3}$
c. $\cos \left(x+60^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
d. $\sin 2 x=\sqrt{2}$
e. $\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$
f. $\sin \left(\frac{\pi}{4}-2 x\right)=\cos 2 x$

Phuong trinh $\operatorname{Cos} X=a$ (2)
- Nếu $|m|>1:$ phưong trình vô nghiệm.
- Nếu $|m| \leq 1 \Rightarrow \exists \alpha \in[0 ; \pi]$ thỏa mãn $\cos \alpha=m$.
$(2) \Leftrightarrow \cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\alpha+k 2 \pi \\ x=-\alpha+k 2 \pi\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
\& Chú $\hat{y}$ : Nếu $\alpha$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}0 \leq \alpha \leq \pi \\ \cos \alpha=m\end{array}\right.$ thì ta viết $\alpha=\arccos m$
Các truòng hợp đặc biệt:
(1) $\cos x=1 \Leftrightarrow x=k 2 \pi(k \in \mathbb{Z})$
(2) $\cos x=-1 \Leftrightarrow x=\pi+k 2 \pi(k \in \mathbb{Z})$.
(3) $\cos x=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in \mathbb{Z})$.

Bài 2: 

Giải các phưong trình sau:
a. $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
b. $\cos x=\frac{1}{5}$.
c. $\cos \left(x+30^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
d. $\cos x=\frac{3}{2}$.
e. $\cos 2 x=\cos \left(\frac{2 \pi}{3}-\frac{x}{5}\right)$
f. $\cos \left(\frac{x}{2}-\frac{4 \pi}{3}\right)+\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0$

Phuong trinh $\operatorname{Cos} X=a$ (2)
- Nếu $|m|>1:$ phưong trình vô nghiệm.
- Nếu $|m| \leq 1 \Rightarrow \exists \alpha \in[0 ; \pi]$ thỏa mãn $\cos \alpha=m$.
$(2) \Leftrightarrow \cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\alpha+k 2 \pi \\ x=-\alpha+k 2 \pi\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
\& Chú $\hat{y}$ : Nếu $\alpha$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}0 \leq \alpha \leq \pi \\ \cos \alpha=m\end{array}\right.$ thì ta viết $\alpha=\arccos m$
Các truòng hợp đặc biệt:
(1) $\cos x=1 \Leftrightarrow x=k 2 \pi(k \in \mathbb{Z})$
(2) $\cos x=-1 \Leftrightarrow x=\pi+k 2 \pi(k \in \mathbb{Z})$.
(3) $\cos x=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in \mathbb{Z})$.

Bài 3: 

Giải các phương trình sau:
a. $\tan x=1$
b. $\tan 2 x=-\frac{1}{3}$.
c. $\cot x=0$
d. $\cot 3 x=-2$
e. $\tan \left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)+\tan 2 x=0 .$ f. $\tan \left(\frac{2 \pi}{3}+x\right)=\cot x$
g. $\cot \left(3 x-\frac{\pi}{3}\right)=\cot 2 x$

Phuong trinh CotX $=a$ (4)
- Với $\forall m, \exists \alpha \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right): \cot \alpha=m$
(4) $\Leftrightarrow \cot x=\cot \alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k \pi$
* Chú ý: Nếu $\alpha$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2} \\ \cot \alpha=m\end{array}\right.$ thì ta
viết $\alpha=\operatorname{arccot} m$
Các truòng hợp đăc biệt:
(1) $\cot x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k \pi(k \in \mathbb{Z})$
(2) $\cot x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k \pi(k \in \mathbb{Z})$.

Bài 4: 

Giải các phưong trinh sau:
1. $\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$
2. $\sin \left(4 x+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{3}$
3. $\sin 3 x=\sin 5 x$
4. $\sin \left(4 x-\frac{\pi}{4}\right)-\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)=0$
5. $\sin \left(4 x-\frac{\pi}{4}\right)+\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)=0$
6. $2 \cos x-\sqrt{2}=0$
7. $\cos \left(3 x+15^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
8. $\sin (2 x+1)=\cos (2-x)$
9. $\sin \left(4 x-\frac{\pi}{8}\right)=\cos x$
10. $\sin (2 x+1)+\cos (3 x-1)=0$
11. $\cos 7 x+\sin \left(2 x-\frac{\pi}{5}\right)=0$
12. $(1+2 \cos x)(3-\cos x)=0$
13. $\sin 2 x+3 \sin 4 x=0$
14. $6 \sin 4 x+5 \sin 8 x=0$
15. $\cos ^{2} x-\sin 2 x=0$
16. $\sin ^{2} 2 x=\cos ^{2}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$
17. $\sin ^{2} x+\cos ^{2} 4 x=2$

Bài 5: 

Giải các phương trình sau:
1. $\tan (2 x-1)=\frac{1}{4}$
2. $\cot \left(\frac{3 x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}$
3. $\tan \left(3 x-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}$
4. $\cot \left(4 x-20^{\circ}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$
5. $\sqrt{3} \tan 2 x-3=0$
6. $\tan 3 x=\tan 4 x$
7. $\cot 5 x \cdot \cot 8 x=1$
8. $\cot 2 x \cdot \sin 3 x=0$