Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Đồng Tháp

Câu 1. (5,0 điểm)
1. Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn:
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y+z=-1 \\
x^{3}+y^{3}+z^{3}=11
\end{array}\right.
$$
a) Biểu diễn $x z$ theo $y$.
b) Chứng minh rằng trong ba số $x, y, z$ có it nhất một số thuộc nừa khoảng $[-2 ;-1)$.
2. Cho $a, b, c$ là các số nguyên dương, $a, b$ nguyên tố củng nhau và
$$
T=\frac{b}{c}+\frac{c}{a}
$$
là số nguyên. Chứmg minh rằng $a$ là số chính phương.
Câu 2. (4,0 điểm) Cho dãy số $\left(a_{n}\right)$ xác định như sau:
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{0}=1, a_{1}=13 \\
a_{n+2}=14 a_{n+1}-a_{n}, \forall n \in \mathbb{N}
\end{array}\right.
$$
Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên $n$ :
a) $2 a_{n}-1$ là số chinh phương.
b) $a_{n}$ viết được dưới dạng tổng bình phương của hai số tự nhiên.
Câu 3. $(3,0$ điểm) Tìm tất cả các hàm số lè $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thóa mân:
$$
f(f(x)+y)=2 x+f(x-f(y)), \forall x, y \in \mathbb{R}
$$

Câu 4. (6,0 điểm) Cho hai đường tròn $\left(O_{1} ; R_{1}\right)$ và $\left(O_{2} ; R_{2}\right)$ cắt nhau tại $A, B$ sao cho tam giác $A O_{1} O_{2}$ vuông tại $A$. Tia $O_{1} O_{2}$ cát đường tròn $\left(O_{2}\right)$ tại $E, F$ và cắt đường tròn $\left(O_{1}\right)$ tại $D$. Điềm $M$ thay đổi trên đường tròn $\left(O_{1}\right)$ và không thuộc đường thẳng $O_{1} O_{2}$. Kè dường kinh $M P$ của $\left(O_{1}\right) .$ Tia $O_{2} M$ cắt đường tròn $\left(O_{1}\right)$ tại điểm thứ hai $N$. Tia $O_{2} P$ cắt đường tròn $\left(O_{1}\right)$ tại diểm thứ hai $Q$. Chứng minh rằng:
a) $M D$ là phân giác của góc $E M F$.
b) $M P, N Q$ và $A B$ đồng quy họ̣c đôi một song song.
c) $N Q$ luôn đi qua một diểm cố định.
Câu 5. $(2,0$ điểmm $)$ Có 2021 viên bi, đụmg trong 100 cái hộp. Mỗi lần, cho phép lấy 2 viên bi, 2 viên bi đó thuộc vào tối đa 2 hộp và bơ chúng vào 1 hộp khác. Chứng minh rằng sau một số bước có thể bỏ tất cả các viên bi vào cùng 1 hộp.