Bài tập tự học quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11 Trần Quốc Nghĩa
dayhoctoan .vn ,Đăng ngày: 2021-03-27
Đăng ký kênh youtube của dayhoctoan nhé

Bài tập tự học quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11 Trần Quốc Nghĩa

Xem chi tiết dưới đây

(1) Khái niện về sự đồng phẳng của ba vécto' trong không gian.
Cho ba vécto $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}(\neq \overrightarrow{0})$ trong không gian. Từ một điềm $\mathrm{O}$ bất kì ta dựng $\overrightarrow{O A}=\vec{a}$, $\overrightarrow{O B}=\vec{b}, \overrightarrow{O C}=\vec{c}$. Khi đó xảy ra hai trường hợp:
+ Các đường thẳng $O A, O B, O C$ không cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba vécto $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng.
+ Các đường thẳng $O A, O B, O C$ cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba vécto $\vec{a}$, $\vec{b}, \vec{c}$ đồng phẵng.

(1) Quy tắc ba điểm: $\quad \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}$ (quy tắc cộng) $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C A}$ (quy tắc trừ)
(2) Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành $A B C D$ ta luôn có: $\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}$
(3) Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime},$ ta được: $\overrightarrow{A C^{\prime}}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A A^{\prime}}$
(4) Quy tắc trung điểm: Cho $I$ là trung điềm $A B, M$ là điền bất kỳ: $\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}=2 \overrightarrow{M I}$
(5) Tính chất trọng tâm của tam giác: $G$ là trọng tâm $\triangle A B C, \forall M$ ta có:
$$
\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0} \text { và } \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=3 \overrightarrow{M G}
$$

(6) Tính chất trong tâm của tứ diện: $G$ là trọng tâm tứ diện $A B C D$ :
$$
\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}=\overrightarrow{0} \text { và } \forall M \text { ta có: } \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}+\overrightarrow{M D}=4 \overrightarrow{M G}
$$
(7) Ba vécto' goi là đồng phẳng khi các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
(8) Nếu ba vécto $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phằng thì mỗi vécto $\vec{d}$ đều có thể viết dưới dạng
$\vec{d}=m \vec{a}+n \vec{b}+p \vec{c},$ vói $m, n, p$ duy nhất.
hạn véctơ $\overrightarrow{M N}$ và gốc $O$ cho trước $\overrightarrow{O M}, \overrightarrow{O N}$ theo hệ cơ sở thuận lợi, từ đó ta có: $\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{O N}-\overrightarrow{O M}$
凶 Để tính đoạn $A B$ ta có thể bình phương vô hướng $A B=\overrightarrow{A B}^{2}$ trong hệ cơ sở gồm 3 véctơ đồng phằng.
- Để tính góc giữa hai vécto $\vec{u}$ và $\vec{v}$ ta có thể tính $|\vec{u}|,|\vec{v}|$ và
$$
\vec{u} \cdot \vec{v} \Rightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v})=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot|\vec{v}|}
$$

Bài tập:

Cho hình hộp $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Đặt $\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A D}=\vec{b}, \overrightarrow{A A^{\prime}}=\vec{c}$. Hãy phân tích các vécto $\overrightarrow{A C}^{\prime}$,
$\overrightarrow{B D^{\prime}}, \overrightarrow{B^{\prime} D^{\prime}}, \overrightarrow{D B^{\prime}}, \overrightarrow{B C^{\prime}}$ và $\overrightarrow{A D^{\prime}}$ theo ba véctơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$

Ví dụ 5. Cho hình chóp tam giác $S . A B C$ có cạnh $B C=a \sqrt{2}$ và các cạnh còn lại đều bằng $a$. Tính cosin góc giữa các vécto $\overrightarrow{A B}$ và $\overrightarrow{S C}$.

(1) Góc giữa hai véctơ:
Cho $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là hai véctơ trong không gian. Từ một điểm A bất kì vẽ $\overrightarrow{A B}=\vec{u}, \overrightarrow{A C}=\vec{v}$. Khi đó ta gọi góc $\widehat{B A C}\left(0^{\circ} \leq \widehat{B A C} \leq 180^{\circ}\right)$ là góc giữa hai véctơ $\vec{u}$ và $\vec{v},$ kí hiệu $(\vec{u}, \vec{v})$. Ta có $(\vec{u}, \vec{v})=\widehat{B A C}$
(2) Tích vô hướng. Cho hai véctơ $\vec{u}$ và $\vec{v}(\neq \overrightarrow{0})$. Tích vô hướng của $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là:
$\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}| \cdot|\vec{v}| \cdot \cos (\vec{u}, \vec{v})$
Nếu $\vec{u}=\overrightarrow{0}$ hoặc $\vec{v}=\overrightarrow{0}$ thì ta quy ước $\vec{u} \cdot \vec{v}=0$
(3) Tính chất. Tính chất $3 .$ Với $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ là ba véctơ bất kì trong không gian và $k \in \mathbb{R},$ ta có:
+ Tính chấ\operatorname{tg} i a o ~ h o á n : ~ $\quad \vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a}$
+ Tính chất phân phối: $\quad \vec{a}(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}$
+ Bình phương vô hướng: $\vec{a}^{2} \geq 0, \vec{a}^{2}=0 \Leftrightarrow \vec{a}=\overrightarrow{0}$
(4) Vécto' chỉ phương của đường thẳng.
+ Véctơ $\vec{a} \neq \overrightarrow{0}$ gọi là vécto chỉ phương của đường thẳng $d$ nếu giá của nó song song hoặc trùng với đường thằng $d$.
+ Nếu $\vec{a}$ là một vécto chi phương của đường thằng $d$ thì $k . \vec{a}$ cũng là một vécto chi phương của đường thẳng $d$.
+ Một đường thẵng $d$ trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm $A$ thuôc $d$ và một vécto chi phương.

(1) Cách
2. Sử dụng trực tiếp định nghĩa góc của hai đường thẳng trong không gian.
(2) Cách
3. Muốn chứng minh hai đường thẳng $A B$ và $C D$ vuông góc với nhau ta có thề
chứng $\operatorname{minh} \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}=0$.
(3) Cách
4. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
(4) Cách 5. Dùng định lí ba đường vuông góc (ĐL4).

1. Dịnh nghĩa đuơng thẳng vuông góc với mặt phẳng:
(1) Định nghĩa 5: Đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng của mặt phẳng đó.
$$
\left.a \perp(\alpha) \Leftrightarrow a \perp b, \forall b \subset(\alpha) ; \begin{array}{l}
a \perp(\alpha) \\
b \subset(\alpha)
\end{array}\right\} \Rightarrow a \perp b
$$
(2) Định lí 3: Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ cùng $\left.\begin{array}{l}b, c \subset(\alpha) \\ b \text { cắt } c \\ a \perp b, a \perp c\end{array}\right\} \Rightarrow a \perp(\alpha)$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ thì đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$.
T1. Tinh chất
(1) Tính chất 4:
(@) Có duy nhất một mặt phẳng $(P)$ đi qua một điểm
cho trước và vuông góc với một đường thằng $a$ cho trước.
(1) Có duy nhất một đường thẳng $\Delta$ đi qua một điềm $O$ cho trước và
vuông góc với một mặt phẳng $(P)$ cho trước.
(2) Định nghĩa 6: Mặt phẳng đi qua trung điểm $O$ của đoạn $A B$ và vuông góc với $A B$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $A B$.

Kênh youtube hỗ trợ học Toán THPT: XEM KÊNH VÀ HỎI BÀI TẠI ĐÂY

 

 

Đăng ký kênh youtube của dayhoctoan nhé