Cho $a, b>0$ thỏa $\frac{3}{a}+\frac{1}{b}=1$. Chưng minh rằng $a+b \geq 4+2 \sqrt{3}$

Bài giải: 

$a, b>0 \cdot \frac{1}{b}=1-\frac{3}{a}=\frac{a-3}{a} \rightarrow a>3$

$\rightarrow b=\frac{a}{a-3}$

$\begin{aligned} x \text { et } a+b &=a+\frac{a-3+3}{a-3}=\left(a-3+\frac{3}{a-3}\right)+4 \\ & \geqslant 2 \sqrt{3}+4 \end{aligned}$

$"=" xảy ra\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=3+\sqrt{3} \\ b=\sqrt{3}+1\end{array}\right.$

Cách khác: 

Bddt Bunhiacopxki:
$\left(\begin{array}{ll}\left.\frac{3}{a}+\frac{1}{b}\right)(a+b) \geqslant(\sqrt{3}+1)^{2} \\ \rightarrow a+b \geqslant 4+2 \sqrt{3}\end{array}\right.$

Cách khác: 

AD.B.C.S: $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b} \geqslant \frac{(x+y)^{2}}{a+b}$
$\Lambda=\frac{(\sqrt{3})^{2}}{a}+\frac{1^{2}}{b} \geqslant \frac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{a+b}$
$\Rightarrow \quad a+b \geqslant(\sqrt{3}+1)^{2}=4+2 \sqrt{3}$