Bài tập xác suất của biến cố và phương pháp quy nạp toán học lớp 11 thầy Đắc Tuấn
dayhoctoan .vn ,Đăng ngày: 2020-12-03
Đăng ký kênh youtube của dayhoctoan nhé

Bài tập xác suất của biến cố và phương pháp quy nạp toán học lớp 11 thầy Đắc Tuấn

Xem chi tiết dưới đây

XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ - Lớp 11

GV: Nguyễn Đắc Tuấn – 0835.60.61.62

Bài 1. Túi bên phải có 3 bi đỏ, 2 bi xanh; túi bên trái có 4 bi đỏ, 5 bi xanh. Lấy một bi từ mỗi túi một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất sao cho:

a) Hai bi lấy ra cùng màu; b) Hai bi lấy ra khác màu

Bài 2. Hai bạn lớp $A$ và hai bạn lớp $B$ được xếp vào ngồi 4 ghế sắp thành hàng ngang. Tính xác suất sao cho:

a) Các bạn lớp $A$ ngồi cạnh nhau;  b) Các bạn cùng lớp không ngồi cạnh nhau

Bài 3. Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lí và 2 quyển sách Hóa. Lấy ngẫu nhiên ba quyền sách. Tính xác suất sao cho:

a) Ba quyển lấy ra thuộc ba môn khác nhau;  b) Cả ba quyển lấy ra đều là sách Toán;

c) Ít nhất một quyển sách Toán.

Bài 4. Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số ghi trên thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn.

Bài 5. Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập $\{1,2, \ldots, 11\}$

a) Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12; b) Tính xác suất để tổng ba số được chọn là số lẻ

Bài 6. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn 1000. Tính xác suất để số đó:

a) Chia hết cho 3;  b) Chia hết cho 5.

Bài 7. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các sồ tự nhiên gồm ba chữ sồ phân biệt được chọn từ các chữ số 1 ; 2 ; 3 ; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của $S$. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$, tính xác suất để số được chọn là số chẵn.

Bài 8. Đội tuyền học sinh giỏi của trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12; 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè. Tính xác suất biến cố mỗi khối có ít nhất một em hoc sinh được chọn ?

Bài 9. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tụ nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8 .

Bài 10. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thề lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: Sáu chữ số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị?

Bài 11. Ba người đi $\operatorname{san} A, B$, $C$ độc lập với nhau cùng nổ súng vào mục tiêu. Biết rằng xác suất bắn trúng mục tiêu của A, B, C tương ứng là: 0,4 ; 0,3 ; 0,2 .

a) Tính xác suất xạ thủ A bắn trúng còn hai xạ thủ kia bắn trượt.

b) Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng.

Bài 12. Để kiểm tra chất lượng sản phầm từ một công ty sữa, người ta đã gửi đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại.

Bài 13. Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng chống dịch cơ động trong 5 đội của Trung tâm y tế dự phòng thành phố và 20 đội của các Trung tâm y tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị. Tính xác suất để ít nhất 2 đội của Trung tâm y tế cơ sở được chọn.

Bài 14. Hai thí sinh $A$ và $B$ tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó để xác định câu hỏi thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, tính xác suất để 3 câu hỏi $A$ và 3 câu hỏi $B$ chọn là giống nhau.

Bài 15. Học sinh A thiết kế bảng điều kiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Học sinh B không biết quy tắc mở cửa trên, đã nhấn ngẫu nhiên liên tiếp 3 nút khác nhau trên bảng điều kiển. Tính xác suất để B mở được cửa phòng học đó.

Bài 16. Trong kì thi THPT Quốc Gia năm 2016 có 4 môn thi trắc nghiệm và 4 môn thi tự luận. Một giáo viên được bốc thăm ngẫu nhiên để phụ trách coi thi 5 môn. Tính xác suất để giáo viên đó phụ trách coi thi ít nhất 2 môn trắc nghiệm.

Bài 17. Từ một hộp chứa 11 quả cầu màu đỏ và 4 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tìm xác suất $P$ để lấy được 3 quả cầu màu xanh.

Bài 18. Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tụ nhiên thuộc đoạn [1;17]. Tìm xác suất $P$ đề ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 .

Bài 19. Đề kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một phương án đúng, trả lời đúng được 1,0 điểm. Một thí sinh làm cả 10 câu, mỗi câu chọn một phương án. Tính xác suất để thí sinh đó đạt từ 8,0 trở lên.

Bài 20. Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ 1 đến 9. Tìm xác suất $P$ để rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số ghi trên thẻ với nhau có kết quả nhận được là một số chẵn.

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Kiến thức cần nhớ:

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên $n \in \mathbb{N}^{*}$ là đúng với mọi $n$ mà không thể quy nạp) như sau:

- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với $n=1$.  

- Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n=k \geq 1$ bất kì (gọi là giả thiết quy nạp)

- Bước 3: Chứng minh rằng nó cũng đúng với $n=k+1$.

Bài 21. Chứng minh rằng $2^{2}+4^{2}+8^{2}+\ldots+(2 n)^{2}=\frac{2 n(n+1)(2 n+1)}{3},$ với. $n \in \mathbb{N}^{*}$

Bài 22. Chứng minh rằng $2+5+8+\ldots+(3 n-1)=\frac{n(3 n+1)}{2},$ với $n \in \mathbb{N}^{*}$.

Bài 23. Chứng minh rằng: Với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$ :

a) $1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$

b) $2+4+6+\ldots+2 n=n(n+1)$

c) $1+4+7+\ldots+(3 n-2)=\frac{n(3 n-1)}{2}$

d) $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^{n}}=\frac{2^{n}-1}{2^{n}}$

e) $1-2+3-4+\ldots-2 n+(2 n+1)=n+1$

f) $1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$

g) $1.4+2.7+\ldots+n(3 n-1)=n(n+1)^{2}$

h) $1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2 n-1)^{2}=\frac{n\left(4 n^{2}-1\right)}{3}$

l) $1.2+2.5+3.8+\ldots+n(3 n-1)=n^{2}(n+1)$

m) $\frac{1}{1.2 .3}+\frac{1}{2.3 .4}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

n) $1.2+2.3+3.4+\ldots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ với $n \geq 2$.

Bài 24. Chứng minh rằng: Với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$ :

a) $1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$

b) $1+3+5+\ldots+(2 n-1)=n^{2}$

c) $\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\ldots+\frac{1}{3^{n}}=\frac{2 n+3}{4.3^{n}}$

d) $3+9+27+\ldots+3^{n}=\frac{1}{2}\left(3^{n+1}-3\right)$

e) $2+5+8+\ldots+(3 n-1)=\frac{n(3 n+1)}{2}$

f) $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$

g) $2^{2}+4^{2}+6^{2}+\ldots+(2 n)^{2}=\frac{2 n(n+1)(2 n+1)}{3}$

h) $1+3+6+10+\ldots+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

Bài 25. Chứng minh rằng: $u_{n}=4^{n}+15 n-1$ chia hết cho  9 với $n \in \mathbb{N}^{*}$

Bài 26. Chứng minh rằng: $13^{n}-1$ chia hết cho 12 .

Bài 27. Chứng minh rằng: Với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$ :

a) ${{n}^{5}}-n$ chia hết cho 5;  b) \[{{n}^{7}}-n\] chia hết cho 7

c) ${{13}^{n}}-1$ chia hết cho 6; d) ${{n}^{3}}+2n$ chia hết cho 3

e) \[{{3}^{n}}+2n-1\] chia hết cho 4; f) ${{3}^{2n}}-1$ chia hết cho 8

g) ${{3}^{2n-1}}+{{2}^{n+1}}$ chia hết cho 7;

h) ${{4.3}^{2n+2}}+32n-36$ chia hết cho 64.

Bài 28. Chứng minh rằng với mọi $n \in \mathbb{N}^{*},$ ta có

a) $2^{n}>2 n+1$ vói $n \geq 3$.

b) $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}<2 \sqrt{n}$.

Họ và tên học sinh: ……………………………………………………

Lớp:……………………………………………………………………………

Try to win!

Creat by Nguyễn Đắc Tuấn – page: dayhoctoan.vn

 

Đăng ký kênh youtube của dayhoctoan nhé