Bài tập toán lớp 10 chương 6 giá trị lượng giác của một cung

Xem chi tiết dưới đây

82. GIÁ TRI LƯƠNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
A. KIẾN THÚC CẦN NHÓ
1. Trên đường tròn lượng giác gốc $A,$ cho cung $\not A M$ có sd $A \tilde{M}=\alpha$. Thế thì tung độ của điểm $M$ là sin $\alpha$, hoành độ của điểm $M$ là $\cos \alpha$, $\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}(\operatorname{net} \mathrm{u} \cos \alpha \neq 0), \cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\left(\operatorname{net}_{\mathrm{u}} \sin \alpha \neq 0\right)$
2. $-1 \leq \sin \alpha \leq 1 ;-1 \leq \cos \alpha \leq 1,$ vói moi $\alpha$
3. $\tan \alpha$ không xác định khi và chi khi $\alpha=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}$
4. $\cot \alpha$ không xác định khi và chỉ khi $\alpha=k \pi, k \in \mathbb{Z}$.
5. $\cos \alpha \geq 0$ khi và chi khi diém cuói $M$ thuọc góc phán tu thứ I và IV.
6. $\sin \alpha \geq 0$ khi và chi khi diém cuói $M$ thuợc góc phán tu thứ I và II.
7. Từ dấu của sin $\alpha$ và $\cos \alpha$ suy ra dấu của tan $\alpha$ và cot $\alpha$. Chú ý. Các biểu thức có mặt ở hai vế của các đẳng thức trong các mục duới đây và trong các bài tập sau này đếu được quy ước là có nghĩa

8. Các hằng đầng thúc lượng giác cơ bản
$\begin{array}{ll}\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1 ; & 1+\tan ^{2} \alpha=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha} \\1+\cot ^{2} \alpha=\frac{1}{\sin ^{2} \alpha} ; & \tan \alpha \cot \alpha=1\end{array}$
9. Giá trị lượng giác của các cung đơi nhau
$\cos (-\alpha)=\cos \alpha ; \quad \sin (-\alpha)=-\sin \alpha$
$\tan (-\alpha)=-\tan \alpha ; \cot (-\alpha)=-\cot \alpha$
10. Giá trị lượng giác cúa các cung bù nhau
$\begin{array}{l}\sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha ; \cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha \\\tan (\pi-\alpha)=-\tan \alpha ; \cot (\pi-\alpha)=-\cot \alpha\end{array}$
11. Giá trị lượng giác của các cung hơn kém $\pi$
$\sin (\alpha+\pi)=-\sin \alpha ; \cos (\alpha+\pi)=-\cos \alpha$
$\tan (\alpha+\pi)=\tan \alpha ; \cot (\alpha+\pi)=\cot \alpha$

11. Giá trị lượng giác của các cung hơn kém $\pi$
$\begin{array}{l}\sin (\alpha+\pi)=-\sin \alpha ; \cos (\alpha+\pi)=-\cos \alpha \\ \tan (\alpha+\pi)=\tan \alpha ; \cot (\alpha+\pi)=\cot \alpha\end{array}$
12. Giá trị lượng giác của các cung phụ nhau
$\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos \alpha ; \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha$
$\tan \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cot \alpha ; \cot \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\tan \alpha$

Bài 1: Cho $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi .$ Xác dịnh dáu của các giá trị lượng giác
a) $\sin \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)$
b) $\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)$
c) $\tan (\alpha+\pi)$
d) $\cot \left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)$

Bài 2: Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ néu
a) $\sin \alpha=-\frac{2}{5}$ và $\pi<\alpha<\frac{3 \pi}{2}$
b) $\cos \alpha=0,8$ và $\frac{3 \pi}{2}<\alpha<2 \pi$
c) $\tan \alpha=\frac{13}{8}$ và $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$
d) $\cot \alpha=-\frac{19}{7}$ và $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$

Bài 3: Chúng minh các đằng thúc
a) $\frac{\sin ^{3} \alpha+\cos ^{3} \alpha}{\sin \alpha+\cos \alpha}=1-\sin \alpha \cos \alpha$
b) $\frac{\sin ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha}{1+2 \sin \alpha \cos \alpha}=\frac{\tan \alpha-1}{\tan \alpha+1}$
c) $\sin ^{4} \alpha+\cos ^{4} \alpha-\sin ^{6} \alpha-\cos ^{6} \alpha=\sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha$

Bài 4: Rút gọn các biếu thúc
a) $A=(1+\cot \alpha) \sin ^{3} \alpha+(1+\tan \alpha) \cos ^{3} \alpha ;$

b) $B=\frac{\sin ^{2} \alpha+2 \cos ^{2} \alpha-1}{\cot ^{2} \alpha}$
c) $C=\frac{\sin ^{2} \alpha-\tan ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha-\cot ^{2} \alpha}$

Bài 5: Cho $\tan \alpha=\frac{3}{5},$ tinh giá tri các biéu thúc sau
a) $A=\frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\sin \alpha-\cos \alpha}$
b) $B=\frac{3 \sin ^{2} \alpha+12 \sin \alpha \cos \alpha+\cos ^{2} \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\sin \alpha \cos \alpha-2 \cos ^{2} \alpha}$
c) $C=\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha}$
d) $D=\frac{(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}-1}{\cot \alpha-\sin \alpha \cos \alpha}$

7. Cho $\pi<\alpha<\frac{3 \pi}{2} .$ Xác dinh dáu của các giá trị lượng giác sau
a) $\cos \left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)$
b) $\sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)$
c) $\tan \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)$
d) $\cot (\alpha+\pi)$
8. Chúng minh rầng với mọi $\alpha$, ta luôn có
a) $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=\cos \alpha$
b) $\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin \alpha$
c) $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=-\cot \alpha$
d) $\cot \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=-\tan \alpha$
9. Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha,$ néu
a) $\cos \alpha=-\frac{1}{4}, \pi<\alpha<\frac{3 \pi}{2}$
b) $\sin \alpha=\frac{2}{3}, \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$
c) $\tan \alpha=\frac{7}{3}, 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$
d) $\cot \alpha=-\frac{14}{9}, \frac{3 \pi}{2}<\alpha<2 \pi$

10. Biết $\sin \alpha=\frac{3}{4}$ và $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi .$ Tính
a) $A=\frac{2 \tan \alpha-3 \cot \alpha}{\cos \alpha+\tan \alpha}$
b) $\mathrm{B}=\frac{\cos ^{2} \alpha+\cot ^{2} \alpha}{\tan \alpha-\cot \alpha}$
11. Cho $\tan \alpha-3 \cot \alpha=6$ và $\pi<\alpha<\frac{3 \pi}{2} .$ Tính
a) $\sin \alpha+\cos \alpha$
b) $\frac{2 \sin \alpha-\tan \alpha}{\cos \alpha+\cot \alpha}$
12. Chứng minh các đàng thức
a) $\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{\cot \beta-\cot \alpha}=\tan \alpha \tan \beta$
b) $\tan 100^{\circ}+\frac{\sin 530^{\circ}}{1+\sin 640^{\circ}}=\frac{1}{\sin 10^{\circ}}$
c) $2\left(\sin ^{6} \alpha+\cos ^{6} \alpha\right)+1=3\left(\sin ^{4} \alpha+\cos ^{4} \alpha\right)$