Đề ôn tập học sinh giỏi môn Toán năm 2019 2020  số 02

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT VINH LỘC 2019-2020 – SỐ 02

Thời gian: 180 phút – Không kể thời gian giao đề (Ngày 11/07/2019)

Bài 1. (4,0 điểm)

1. Cho hàm số $y=x^3+2mx^2-3x\left(1\right)$ và đường thẳng $\left(\Delta \right):y=2mx-2$ (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để đường thẳng $\left(\Delta \right)$ và đồ thị hàm số $\left(1\right)$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt $A,B,C$ sao cho diện tích tam giác $OBC$ bằng $\sqrt{{17}}$ (trong đó $A$ là điểm có hoành độ bằng $1$ và $O$ là gốc tọa độ).

2. Cho hàm số $y=\dfrac{3x}{x+3}\left(C\right).$ Viết phương trình tiếp tuyến của $\left(C\right)$ , biết khoảng cách từ tâm đối xứng của $\left(C\right)$ đến tiếp tuyến đó đạt giá trị lớn nhất.

Bài 2. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình: $\dfrac{\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x-5\sin x+\left({2-\sqrt{3}}\right)\cos x+3+\sqrt{3}}{2\cos x+\sqrt{3}}=1.$

2. Giải hệ phương trình:  $\left\{\begin{aligned}& 3x^2-2y^2-xy+12x-17y-15=0 \\& \sqrt{{2-x}}+\sqrt{{6-x-x^2}}=y+\sqrt{{2y+5}}-\sqrt{{y+4}}. \end{aligned}\right.$                           

Bài 3. (4,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a,AD=2a$. Mặt bên $\left({SAB}\right)$ là tam giác cân tại $S$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left({SAC}\right)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{6}}3$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.

Bài 4.(4,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy,$cho hình thang vuông tại A và D, biết $D\left({2;2}\right),CD=2AB.$ Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $D$ lên đường chéo $AC.$ Điểm $M\left({\dfrac{22}5;\dfrac{14}5}\right)$ là trung điểm của $HC.$ Tìm tọa độ các điểm $A,B,C$ biết rằng đỉnh $B$ thuộc đường thẳng $d:x-2y+4=0.$

 Bài 5. (2,0 điểm) Cho đa giác lồi (H) có 22 cạnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của (H). Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X, tính xác suất để chọn được một tam giác có một cạnh là cạnh của đa giác (H) và một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác (H).

Bài 6. (2,0 điểm) Với các số thực dương$a,b,c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\dfrac1{2a+b+\sqrt{{8bc}}}-\dfrac8{\sqrt{{2b^2+2{\left({a+c}\right)}^2}}+5}$

                                                    ---HẾT---

                                 XEM TRỰC TUYẾN DƯỚI ĐÂY