[WORD] Bài tập bất đẳng thức lớp 10 có file word

QUÝ THẦY CÔ TẢI FILE WORD VỀ Ở CUỐI BÀI VIẾT NÀY NHÉ.

CHƯƠNG IV. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

§1. BẤT ĐẲNG THỨC

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Định nghĩa :

Cho $a,b$ là hai số thực. Các mệnh đề $''a>b'',''a<b'',''a\geqslant b'',''a\leqslant b''$ được gọi là những bất đẳng thức.

• Chứng minh bất đảng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng(mệnh đề đúng)

• Với $A,B$ là mệnh đề chứ biến thì $''A>B''$ là mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất đẳng thức $A>B$ (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến  $''A>B''$ đúng với tất cả các giá trị của biến(thỏa mãn điều kiện đó). Khi nói ta có bất đẳng thức $A>B$mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến là số thực.

2. Tính chất :

* $a>b$ và $b>c\Rightarrow a>c$              

* $a>b\Leftrightarrow a+c>b+c$

* $a>b$ và $c>d\Rightarrow a+c>b+d$ 

* Nếu $c>0$ thì $a>b\Leftrightarrow ac>bc$

Nếu $c<0$ thì $a>b\Leftrightarrow ac<bc$

* $a>b\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{a}>\sqrt{b}$

* $a\geqslant b\geqslant 0\Leftrightarrow a^2\geqslant b^2$

*$a>b\geqslant 0\Rightarrow a^n>b^n$

3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.

*  $-\left|a\right|\leqslant a\leqslant \left|a\right|$ với mọi số thực $a$ .

*  $\left|x\right|<a\Leftrightarrow -a<x<a$ ( Với $a>0$)

*  $\left|x\right|>a\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x>a \\& x<-a \end{aligned}\right.$     ( Với $a>0$)

4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy)

a) Đối với hai số không âm        

Cho $a\geqslant 0,b\geqslant \text{0}$, ta có  $\dfrac{a+b}2\geqslant \sqrt{{ab}}$ . Dấu '='  xảy ra khi và chỉ khi $a=b$

Hệ quả :

* Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau

* Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau

b) Đối với ba số không âm

Cho $a\geqslant 0,b\geqslant 0,c\geqslant 0$, ta có $\dfrac{a+b+c}3\geqslant \sqrt[3]{{abc}}$. Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

• DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN.

1. Phương pháp giải.

Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) $A\geqslant B$ ta có thể sử dụng các cách sau:

• Ta đi chứng minh $A-B\geqslant 0$. Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích $A-B$ thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.

• Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh.

2. Các ví dụ minh họa.

Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng.

Loại 2:  Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh

Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt

* Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng

$a\in \left[{\alpha ;\beta }\right]\Rightarrow \left({a-\alpha }\right)\left({a-\beta }\right)\leqslant 0$     $\left(*\right)$

$a,b,c\in \left[{\alpha ;\beta }\right]\Rightarrow \left({a-\alpha }\right)\left({b-\alpha }\right)\left({c-\alpha }\right)+\left({\beta -a}\right)\left({\beta -b}\right)\left({\beta -c}\right)\geqslant 0\left({**}\right)$

Ví dụ 7 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng :

$a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)$.

Lời giải

Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có :

$a+b>c\Rightarrow ac+bc>c^2$. Tương tự

$bc+ba>b^2;\text{  }ca+cb>c^2$ cộng ba BĐT này lại với nhau ta có đpcm

Nhận xét : * Ở trong bài toán trên ta đã xuất phát từ BĐT đúng đó là tính chất về độ dài ba cạnh của tam giác. Sau đó vì cần xuất hiện bình phương nên ta nhân hai vế của BĐT với c.

Ngoài ra nếu xuất phát từ BĐT $|a-b|<c$ rồi bình phương hai vế ta cũng có được kết quả.  

Loại 2:  Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh

Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt

* Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng

$a\in \left[{\alpha ;\beta }\right]\Rightarrow \left({a-\alpha }\right)\left({a-\beta }\right)\leqslant 0$     $\left(*\right)$

$a,b,c\in \left[{\alpha ;\beta }\right]\Rightarrow \left({a-\alpha }\right)\left({b-\alpha }\right)\left({c-\alpha }\right)+\left({\beta -a}\right)\left({\beta -b}\right)\left({\beta -c}\right)\geqslant 0\left({**}\right)$

Ví dụ 7 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng :

$a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)$.

Lời giải

Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có :

$a+b>c\Rightarrow ac+bc>c^2$. Tương tự

$bc+ba>b^2;\text{  }ca+cb>c^2$ cộng ba BĐT này lại với nhau ta có đpcm

Nhận xét : * Ở trong bài toán trên ta đã xuất phát từ BĐT đúng đó là tính chất về độ dài ba cạnh của tam giác. Sau đó vì cần xuất hiện bình phương nên ta nhân hai vế của BĐT với c.

Ngoài ra nếu xuất phát từ BĐT $|a-b|<c$ rồi bình phương hai vế ta cũng có được kết quả.  

XEM TRỰC TUYẾN VÀ TẢI VỀ DƯỚI ĐÂY.

TẢI FILE WORD: TẢI FILE WORD