BÀI THI THỨ NHẤT:

Câu $1\left(5,0\right.$ điểm). Cho dãy số $\left(x_n\right)$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}x_1=8 \\ x_{n+1}=\frac{x_n^{2025}}{2024}+x_n, \forall n \in \mathbb{N}^*\end{array}\right.$
a) Chứng minh rằng $\lim x_n=+\infty$.
b) Tìm số $M$ nhỏ nhất sao cho $\frac{x_1^{2024}}{x_2}+\frac{x_2^{2024}}{x_3}+\cdots+\frac{x_n^{2024}}{x_{n+1}}<M, \forall n \in \mathbb{N}^*$.

Câu $2(5,0$ điểm). Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

$$
f\left(x^2+y\right)-2 y f(x)=f(f(x))+f(-y), \forall x, y \in \mathbb{R}
$$

Câu 3 ( 5,0 điểm). Cho tam giác $A B C$ có các góc nhọn. Lấy diểm $D$ bên trong tam giác sao cho $\widehat{D A B}=\widehat{D C B}$ và $\widehat{D A C}=\widehat{D B C}$. Gọi $A^{\prime}$ là giao điểm của $A D$ với $B C ; B^{\prime}$ là giao điểm của $B D$ với $A C$ và $C^{\prime}$ là giao điểm của $C D$ với $A B$.
a) Chứng minh rằng $D$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$.
b) Gọi $A_1, B_1, C_1$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của các diểm $A, B, C$ lên các đường thẳng $B^{\prime} C^{\prime}, C^{\prime} A^{\prime}$ và $A^{\prime} B^{\prime}$. Chứng minh rằng $p(A B C) \cdot p\left(A_1 B_1 C_1\right) \geq\left[p\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right)\right]^2$, trong đó $p(X Y Z)$ là kí hiệu chu vi của tam giác $X Y Z$.

Câu 4 ( 5,0 điểm). Cho $3 n$ diểm $A_1, A_2, \cdots, A_{3 n}(n \in \mathbb{N}, n \geq 2)$ nằm trên mặt phẳng sao cho $A_1 A_2 A_3$ là tam giác dều và $A_{3 k+1}, A_{3 k+2}, A_{3 k+3}$ là các trung diểm ba cạnh của tam giác $A_{3 k-2} A_{3 k-1} A_{3 k}$, với mọi $k=\overline{1, n-1}$. Tô màu các đỉnh $A_1, A_2, \cdots, A_{3 n}$ bởi một trong hai màu sanh và dỏ.
a) Khi $3 n=2025$, chứng minh rằng luôn tìm được 6328 hình thang cân có 4 dinh cùng màu và có hai cạnh dáy là các cạnh của các tam giác $A_{3 k-2} A_{3 k-1} A_{3 k}, \forall k=\overline{1, n}$.
b) Tìm giá trị $n$ nhỏ nhất sao cho với mọi cách tô màu các dỉnh $A_1, A_2, \cdots, A_{3 n}$ bởi một trong hai màu xanh và dỏ, luôn tìm dược một hình thang cân có 4 dỉnh cùng màu và có hai cạnh dáy là các cạnh của các tam giác $A_{3 k-2} A_{3 k-1} A_{3 k}, \forall k=\overline{1, n}$.
-HẾT-

BÀI THI THỨ HAI: 

Câu 1 ( 6,0 điểm). Cho đa thức $P(x)=x^{2024}+a_1 x^{2023}+\cdots+a_{2023} x+a_{2024}$, với $a_1, a_2, \ldots, a_{2024} \in \mathbb{R}$. Biết $a_{2022}=0, a_{2024} \neq 0, \frac{a_{2023}}{a_{2024}}>2025$ và đa thức $P(x)$ có 2024 nghiệm thực. thức $P_n(x)$ có cả nghiệm âm và nghiệm dương.
Câu 2 (7,0 điểm). Xét tất cả các số nguyên $k$ thỏa mãn $2024 \mid 11^n+k \cdot 195^n, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của $|k|$.
Câu $3 \mathbf{( 7 , 0}$ điểm). Cho $B, C$ là hai điểm cố định trên đường tròn $(O)$ và $A$ là điểm di động trên $(O)$ sao cho tam giác $A B C$ nhọn, không cân. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $A B C$ và $A^{\prime}$ là điểm đối xứng với $A$ qua tâm $O$. Một đường thẳng đi qua $H$ cắt các cạnh $A B, A C$ lần lượt tại $E$ và $F$ sao cho $A E=A F$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $A E F$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $M \neq A$.

a) Chứng minh rằng $H, M, A^{\prime}$ thẳng hàng.
b) Gọi $I, J$ (khác $M$ ) lần lượt là các giao điểm của $M E, M F$ với $(O) ; D$ là điểm chính giữa cung $\overparen{B C}$ không chứa $A ; P$ là giao điểm của $D I$ với $A B$ và $Q$ là giao điểm của $D J$ với $A C$. Chứng minh rằng đường thẳng $P Q$ luôn đi qua một điểm cố định.
---HẾT---