Đề học sinh giỏi môn Toán tỉnh Thừa Thiên Huế khối THPT năm 2023 2024 thi ngày 20 tháng 10 năm 2023

Đề: 

Câu 1: (4,0 điểm)

Cho hàm số $y=\frac{3 x-2}{x+m}$ có đồ thị là $\left(C_m\right)$ với $m$ là tham số thực.

a) Xác định tất cả các giá trị của $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(-1 ; 4)$. 

b) Xác định tất cả các giá trị của $m$ để tiếp tuyến của đồ thị $\left(C_m\right)$ tại điểm có hoành $x=-1$ cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại $A, B$ phân biệt sao cho $O B=2 O A$. 

Câu 2: (6,0 điểm)

Cho hàm số $y=f(x)=x^3-3 x+1$ có đồ thị là $(C)$.

a) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $(C)$.

b) Xác định tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $d: y=m x-2 m+3$ cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt trong đó có đúng một điểm có hoành độ lớn hơn 1. 

c) Gọi $a, b$ là các số thực sao cho $f(a)=f(b)$. Tìm giá trị lớn nhất của $T=a-b . 

 Câu 3: (2,0 điểm)

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^3+3 y=x \\ y^3+3 x=y\end{array}\right.$. 

Câu 4: (2,0 điểm)

Cho tập hợp $X=\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 30\}$ gồm 30 số nguyên dương đầu tiên. Chọn ngẫu nhiên ba phần tử của $X$.

a) Tính xác suất để chọn được ba phần tử có tổng là một số chẵn.

b) Tính xác suất để chọn được ba phần tử trong đó có một phần tử bằng tổng hai phần tử còn lại.

Câu 5: (6,0 điểm)

Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$, có đáy $A B C D$ là hình vuông tâm $O$ với cạnh $A B=a \sqrt{2}$, cạnh bên $S A=a \sqrt{5}$.

a) Tính thể tích khối chóp $S . A B C D$ theo $a$.

b) Gọi $F$ là trung điểm của $S B$, tính khoảng cách từ $F$ đến mặt phẳng $(S A D)$ theo $a$.

c)Gọi E là trung điểm của CD, tính sin của góc tạo bởi đường thẳng EF và mặt phẳng $(S A C)$.