Hướng dẫn câu 50 vận dụng cao đề phát triển của Bộ năm 2023 môn Toán 

Tính tổng $S$ tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ trong đoạn $[-10 ; 10]$ để hàm số $y=\left|\frac{m x+3}{x+m+2}\right|$ đồng biến trên $(1 ;+\infty)$.
A. $S=55$.
B. $S=54$.
C. $S=3$.
D. $S=5$.

Hướng dẫn giải: 

Xét hàm số $y=\frac{m x+3}{x+m+2}$ với $x \neq-m-2$, có $y^{\prime}=\frac{m^2+2 m-3}{(x+m+2)^2}$.
Hàm số $y=\left|\frac{m x+3}{x+m+2}\right|$ đồng biến trên $(1 ;+\infty)$ khi xảy ra môt trong hai trường hợp sau :

Trường hợp 1: $\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=\frac{m^2+2 m-3}{(x+m+2)^2}>0 \\ y(1) \geq 0 \\ -m-2 \notin(1 ;+\infty)\end{array}, \forall x>1\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^2+2 m-3>0 \\ \frac{m+3}{m+3} \geq 0 \\ -m-2 \leq 1\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}m<-3 \\ m>1 \\ m \geq-3\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow m>1$.
$$
\begin{aligned}
& \text { Trường hơp 2: }\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime}=\frac{m^2+2 m-3}{(x+m+2)^2}<0 \\
y(1) \leq 0 \\
-m-2 \notin(1 ;+\infty)
\end{array} \quad, \forall x>1 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}
m^2+2 m-3<0 \\
\frac{m+3}{m+3} \leq 0 \\
-m-2 \leq 1
\end{array} \Leftrightarrow m \in \varnothing\right. \text {. }\right. \\
&
\end{aligned}
$$

Từ kết quả trên ta có $m \in(1 ;+\infty)$, mà $\left\{\begin{array}{c}m \in \mathbb{Z} \\ m \in[-10 ; 10]\end{array}\right.$ suy ra $m \in\{2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10\}$.
Vây $S=54$