Đề chọn đội dự tuyển Quốc Gia môn Toán năm 2022 2023 trường chuyên Quốc học Huế

Trích dẫn Đề chọn đội dự tuyển QG môn Toán năm 2022 – 2023 trường chuyên Quốc học Huế:
+ Cho P(x) là một đa thức có hệ số thực, khác đa thức không, thỏa mãn (x – 1)P(x + 1) = (x + 2)P(x) với mọi x thuộc R và [P(22)]2 = P(23). Tìm đa thức P(x).
+ Cho A là một tập hữu hạn sao cho tồn tại dãy số (an) lấy giá trị trong A thỏa mãn tính chất: với mọi i, j thuộc N* sao cho |i – j| là số nguyên tố thì ai khác aj (ta quy ước số hạng đầu tiên của dãy số là a1). Tìm số phần tử ít nhất có thể của tập hợp A?
+ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), BC là dây cung cố định không đi qua O và A là điểm thay đổi trên cung lớn BC của (O) sao cho ABC là tam giác nhọn và AB > BC, AC > BC. Gọi P là điểm trên đoạn thẳng AB, Q là điểm trên đoạn thẳng AC sao cho P khác B, C khác Q và BQ = BC = CP. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ. Chứng minh rằng khi A di động thì đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định.

Nội dung chi tiết đề: 

Câu 1 (5,0 điồm). Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $p=\frac{b c}{a}+\frac{c a}{b}+\frac{a b}{c}+\frac{81}{4} a b c$.

Câu 2 (5,0 điềm). Cho $P(x)$ là một đa thức có hệ số thực, khác đa thức không, thỏa mãn $(x-1) P(x+1)=(x+2) P(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ và $[P(22)]^2=P(23)$. Tìm đa thức $P(x)$.

Câu 3 (5,0 điểm). Cho $A$ là một tập hữu hạn sao cho tồn tại dãy số $\left(a_n\right)$ lấy giá trị trong $A$ thỏa mãn tính chất: với mọi $i, j \in \mathbb{N}^*$ sao cho $|i-j|$ là số nguyên tố thì $a_i \neq a_j$ (ta quy ước số hạng đầu tiên của dãy số là $a_1$ ). Tìm số phần tử ít nhất có thể của tập hợp $A$ ?

Câu 4 (5,0 điểm). Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O) . B C$ là dây cung cố định không đi qua $O$ và $A$ là điểm thay đổi trên cung lớn $B C$ của $(O)$ sao cho $A B C$ là tam giác nhọn và $A B>B C, A C>B C$. Gọi $P$ là điểm trên đoạn thẳng $A B, Q$ là điểm trên đoạn thẳng $A C$ sao cho $P \neq B, C \neq Q$ và $B Q=B C=C P$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $A B C$ và $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A P Q$. Chứng minh rằng khi $A$ di động thì đường thẳng $H K$ luôn đi qua một điềm cố định.

Hết