Đề thi học sinh giỏi Sở Giáo Dục Hà Nội năm 2022 2023 môn Toán

Câu I (4 điểm)  Cho hàm số $y=x^3-3 x+1$ có đồ thị $(C)$.
1) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến đi qua điểm $M(2 ; 3)$.
2) Tìm tất cả giá tri của $a$ để qua điểm $A(\alpha ;-1)$ kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị $(C)$ trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Câu II ( 5 điểm)
1) Giải phưong trình $x+1+2 \sqrt{x+2}=x^2+2 \sqrt{x^2+1}$.
2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^3+3 x^2+4 x+2=y \sqrt{y-1} \\ y^2-2 x-3 y-\sqrt{9-y}=6\end{array}\right.$.

Câu III (2 điểm)
Gọi $A$ là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số được lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 sao cho các chữ số 1 và 2 xuất hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện một lần. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A. Tính xác suất để số được chọn có các chữ số giống nhau không đừng cạnh nhau.
Câu IV ( 3 điểm)
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xíc định bởi $u_1=2 ; u_{n+1}=u_n^3-2 u_n^2+2 u_n ; n=1,2,3, \ldots$
1) Chứng minh dãy số $\left(u_n\right)$ lã dãy số tăng.
2) Chứng minh $\frac{u_1}{u_1^2-u_1+1}+\frac{u_2}{u_2^2-u_2+1}+\ldots+\frac{u_{2022}}{u_{2022}^2-u_{2022}+1}<1$.

Câu V (4 điểm)
Cho hình chóp $S \cdot A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a$ và cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$. Góc giữa đường thẳng $S B$ và mặt phẳng $(A B C D)$ bä̀ng $60^{\circ}$.
1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $S C$ và $B D$.
2) Gọi $M$ và $N$ là hai điềm lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng $S D$ và $B C$ thỏa mãn $\frac{M S}{M D}=\frac{N C}{N B}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $M N$.
Câu VI (2 diểm)
Vớ $a, b, c$ là các số thực dương, tìm giá trị lón nhất của biểu thức
$$
P=\frac{16}{a+b+c+1}-\frac{9}{(a+b) \sqrt{(a+2 c)(b+2 c)}} .
$$